Citation :
C’est l’histoire de l’hôtel de Hilbert : un hôtel possède une infinité de chambres portant chacune un numéro entier. Cet hôtel est complet. Pourtant, il est possible d’y accueillir des clients supplémentaires, même en nombre infini. Par exemple : pour accueillir un client en plus, il suffit de mettre celui qui occupait la première chambre dans la deuxième, celui de la deuxième dans la troisième, celui de la troisième dans la quatrième, de cette manière on libère la première chambre. Pour faire de la place à une infinité de clients ils suffit de déplacer chaque client occupant une chambre dans la chambre portant un numéro double du numéro initial : tous les anciens clients gardent une chambre, et on a libéré une infinité de chambres (celles impaires) pour les nouveaux clients !!! Cet exemple montre que l’infini plus un ou deux fois l’infini ne sont pas plus grands que l’infini : il y a donc autant de nombres entiers positifs que de nombres entiers tout court ou que de nombres pairs !! Plus fort : on pourrait mettre dans notre hôtel (déjà plein) une infinité de cars contenant chacun une infinité de nouveaux touristes, sans que la place ne manque. Une infinité d’infinités contient donc autant d’éléments que l’infini de départ. Par exemple, il y a autant de nombres rationnels que de nombres entiers !